求导符号

用户投稿   2024-03-10 00:39:38

一元函数的导数有两种记号表示。一个是牛顿用的,表示是从函数得到的导函数。另一个是莱布尼兹用的。为了将这两个记号统一起来:我们把dx看成自变量,dy的值定义为

也就是说,把dy看成是在x点处增加dx,沿着该点的函数切线的y的增量,见下图。

求导符号

dy的涵义

如果这么看待,两种记号就是一个意思了,因为

(会不会感觉这是个无聊的记号游戏?)

其实,导数真正的意思

它是一个分式的极限,即分母是自变量x的变化值,记作h,分子是因变量相应的变化值,让这个x的变化值变得无穷小时的比值,它等于该点处切线的斜率。它近似于取一个很小的x的增量dx作分母,相应的y的增量dy作分子的比值,这大概也是dy/dx记号的原来的意思,而且这个dy/dx的记号把导数计算式子的分式形式展现出来了,这是这个记号的优点,大家只要把里面的dx理解成x的一个非常非常小的增量就可以了。其实d就是differential的首字母,所以dx表示x的一个小增量,dy表示y的一个相应的小增量。而f'(x)这种记号虽然形式简单,却没有展现出求导数的方法是什么。

我个人还是喜欢牛顿的记号,(因为我已经会求导数了)因为表示导函数在函数上加一撇就行了,很方便。dy/dx这个记号写起来确实麻烦,但它也有它的好处,起到了帮助记忆导数涵义的作用吧。两种记号都是可用的,因为牛顿和莱布尼兹都是微积分的独立创立者,我想这是为了尊敬两位前辈吧:)